Joludi Blog

Dic 23
“Un Problema Difícil”
Hace un año justo, un día como hoy, me deleitaba en los pasillos de un viejo museo viendo las obras de Bogdanov-Belsky, ese maestro del realismo ruso del XIX, especialista en reflejar la Rusia profunda que despertaba poco a poco...

“Un Problema Difícil”

Hace un año justo, un día como hoy, me deleitaba en los pasillos de un viejo museo viendo las obras de Bogdanov-Belsky, ese maestro del realismo ruso del XIX, especialista en reflejar la Rusia profunda que despertaba poco a poco a la educación y el progreso. Los cuadros de Bogdanov-Belski nos muestran, con primoroso detalle y sensibilidad un mundo de escuelas rurales, de clases para campesinos, de niños del campo ávidos por aprender matemáticas, de viejos aldeanos con los ojos bien abiertos para aprender por fin a leer y escribir…

Entre las obras de este tipo que pintó en San Petersburgo el gran Bogdanov-Belsky hay una particularmente fascinante, que puedes ver si vas a la Galería Tretyakov. Se llama “Un problema difícil”, y nos muestra a unos niños intentando resolver mentalmente un problema que el profesor ha presentado en la pizarra. Incidentalmente, el profesor es nada menos que Sergei Rachinski, un admirable sabio y académico ruso, volcado en la tarea de enseñar matemáticas (y particularmente cálculo mental) a los más humildes de su país y que entre otros muchos méritos tuvo el de ser el primer traductor de Darwin al ruso.

Anteayer, en algún sitio, me encontré de nuevo con “Un problema difícil” y me conmovió una vez más la ternura de la enseñanza, la pasión de la verdadera pedagogía que el cuadro refleja. Pero esta vez también me dio por fijarme en el problema expuesto en la pizarra y respecto al cual los chicos dan vueltas y vueltas a sus mentes.

El problema pide obtener mentalmente la solución del cociente entre un sumatorio de cuadrados consecutivos, empezando por el cuadrado de 10,  y la cantidad de 365. No pude evitar la aceptación del desafío, así que, mentalmente, me uní durante un buen rato a esos chicos.

El “problema difícil” de la pizarra de Rachinski podría resolverse perfectamente si al menos sabemos multiplicar hasta 13 y sumar dos pequeñas cantidades. En efecto, basta darse cuenta de que 10 al cuadrado (100) más 11 al cuadrado (121) más 12 al cuadrado (144) suman 365, para intuir que los dos cuadrados restantes bien podrían sumar lo mismo a fin de que el resultado del cociente sea 2.

Pero a mí, en la tarde de ayer, se me ocurrió otra solución que no exige esta intuición, sino más bien un elemental conocimiento de álgebra básica, de esa que aprendíamos en el colegio. Voy a intentar exponer este método porque me pareció divertido.

Basta pensar en el caso general del cuadrado consecutivo de cinco enteros consecutivos , a, b, c, d, y e. Como son consecutivos, esta serie también se puede expresar como (c-2), (c-1), c, (c+1), (c+2). Hecho esto, basta realizar, una a una, la expansión de los binomios al cuadrado, que sin duda recordamos de nuestra infancia. Esa expansión, como sabemos, nos proporciona para cada binomio un conjunto de tres términos siendo dos de ellos los cuadrados de los miembros del binomio, (términos cuadráticos) y el tercero sería el término lineal, es decir, el factor de ambos miembros multiplicado por dos, pero, eso sí, con el signo apropiado en función del signo que muestra el binomio.

Si colocamos en una columna las cinco expansiones del binomio, como si las fuésemos a sumar, en seguida veremos que los términos se anulan hasta quedarnos tan solo con 5c+10. Este resultado, válido para todo quinteto de cuadrados consecutivos, ya es fácil de calcular para el supuesto planteado en la pizarra de Rachinski. Basta multiplicar mentalmente 5x144, lo que no es difícil, y añadirle 10, lo que nos da 730. Y se ve en seguida entonces que la solución al “problema difícil” es 2.

Yo creo que este método es relativamente asequible para un cálculo mental, así que tiendo a pensar que era eso justamente lo que le estaba pidiendo Rachinski a sus alumnos. Por lo tanto, “el problema difícil” quizá no era tan difícil.

Para mí, el verdadero problema difícil del cuadro de Bogdanov-Belski es otro bien distinto. El problema difícil es entender por qué en España no hemos tenido tan buenos profesores de matemáticas como los rusos a lo largo de los últimos 200 años, lo que ha producido el odio generalizado hacia esta asignatura por parte de los escolares de nuestro país, con el consiguiente retraso en el desarrollo científico y tecnológico español. Esto es especialmente lacerante y paradójico si tenemos en cuenta que la gran tradición matemática de los rusos tiene su origen precisamente en el trabajo colosal de un sabio canario en la corte del Zar, el fabuloso Agustín de Bethancourt. Pero esto es ya otra historia y por hoy no tengo más ganas de escribir.


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