La Identidad de Euler
Un grupo de investigadores del University College de Londres, dirigido por Semir Zeki, ha realizado un interesante experimento para tratar de comprender por qué los matemáticos consideran que puede haber belleza en la misma fórmula matemática que al común de los mortales provoca reacciones de dispepsia. El experimento ha consistido en presentar a un grupo de 15 matemáticos profesionales un conjunto de 60 ecuaciones. Se les pedía a estos matemáticos que realizasen una valoración estética de las fórmulas. Y mientras lo hacían, sus cerebros eran monitorizados mediante resonancia magnética funcional. El resultado ha sido fascinante: parece ser que las zonas del cerebro que se activaban en los matemáticos (el cortex orbitofrontal medial), eran las mismas que se activan en la gente normal cuando se contempla una obra de arte en un museo o una galería.
Y lo más fascinante aún es que el valor de activación “estética” máximo en este experimento, se ha obtenido cuando los matemáticos valoraban la famosa identidad de Euler, que vincula los trascendentes pi y e, con la unidad imaginaria.
Es realmente curioso, porque esta fórmula, cuya veracidad, según Gauss, debería ser evidente para cualquiera que se llamase matemático*, ha sido siempre la que ha servido a los matemáticos para intentar iilustrar su extravagante convicción de que una ecuación puede ser tan hermosa y producir tanto placer estético como la Victoria de Samotracia.
Richard Feynman escribió sobre la dichosa fórmula, cuando era apenas un niño, señalando en su diario que se trataba de la más admirable ecuación de las matemáticas. Keith Devlin, el catedrático de Stanford, la definió como el equivalente de la Mona Lisa de Leonardo o del David de Miguel Angel. Y en general, para muchos matemáticos, esta identidad (e elevado al factor de i por pi, más 1 es igual a cero), constituye el “patrón oro de la belleza matemática” o más aún, la “Ecuación de Dios”.
A mí, lo reconozco, también me parece hermoso que una ecuación tan sencilla, reconcilie, si se me permite el juego de palabras, lo racional, lo irracional y lo imaginario, vinculando de forma profundísima el número base de los logaritmos neperianos, la proporción entre la circunferencia y su radio y la unidad de los números complejos. Son tres instancias hasta cierto punto misteriosas que de repente se articulan en una expresión sencillísima, produciendo el mismo grado de asombro de quien descubre de repente la clave elemental de un enigma cósmico que parecía imposible de desvelar.
Pero también pienso que esa belleza de la Identidad de Euler tiene un poco de trampa. Radica sobre todo en el encanto casi esotérico que tienen los trascendentes al estar expresados en forma de letras (e, pi…). Si sustituyésemos esas dos letras por sus equivalentes en forma de series infinitas en las que solo veríamos simples números naturales en fracciones, con factoriales o con exponentes (series de Taylor o trigonométricas, respectivamente), el encanto de las Identidad de Euler disminuiría notablemente (por cierto que los tres signos no numéricos de la identidad fueron concebidos o generalizados en su uso por el propio Euler al igual que la expresión f(x)…).
En suma, estoy de acuerdo en que la belleza matemática existe, tal como parece haber demostrado esta investigación publicada en el último número de Frontiers of Neuroscience, pero mi convicción es que esa belleza no es esencialmente diferente de la belleza estética general.
Porque la belleza matemática se basa sobre todo en el talento para disponer sabiamente las cosas del mundo, de forma que el resultado sea grato o/y sorprendente para nuestros sentidos o/y para nuestro intelecto.
Lo cual es precisamente una definición razonablemente válida de la creación artística…
*Esta afirmación de Euler sobre la obviedad de su identidad no dista mucho de ser cierta, pues un matemático mínimamente ducho en series sabe que el número e elevado al exponente x puede expresarse como la serie infinita de 1, más x, más x cuadrado dividido por 2 factorial, más x cubo dividido por 3 factorial, más x a la cuarta dividido por 4 factorial, etc…Y también sabe bien ese mismo matemático que el seno de x puede expresarse como x menos x al cubo dividido por 3 factorial más x a la quinta dividido por 5 factorial menos x a la séptima dividió por 7 factorial etc…Y, en fin, ese matemático no ignora que coseno de x es igual a 1 menos x cuadrado dividido por 2 factoríal mas x a la cuarta dividido por 4 factorial, menos x a la sexta dividido por 6 factorial et sicut ad astram…Entonces, y ya terminamos, sustituyendo la x por ix en la primera de las series citadas (es decir, e elevado al exponente x) se obtiene una serie que, una vez operada algebráicamente y tras una sencilla reordenación de los elementos, nos hace surgir-¡milagro!- la tercera de las series citadas, más la primera multiplicada por i, es decir, e, elevado a ix resulta ser el coseno de x más i por el seno de x. Fantástica interpelación entre el álgebra, el análisis y la trigonometría. Esta igualdad fascinante la descubrió en la escuela el gran Srinivisa Ramanujan, con algo así como 12 años, y se llevó un gran chasco al saber que Euler se le había adelantado más de un siglo. Naturalmente, si sustituimos en esa igualdad, que Ramanujan creyó erróneamente haber descubierto por primera vez en la Historia, la x por el número pi, obtenemos entonces la identidad de Euler propiamente dicha, pues seno de pi es cero y coseno de pi es uno, como es bien sabido. Eso es todo. Tampoco es ciencia nuclear, me parece.
